Et albatros forløb om modellering i matematik

Matematisk modellering

Matematik er tilstede overalt i samfundet. I det her forløb skal I lære om hvordan matematik bruges uden for klasselokalet. Det skal I gøre med udgangspunkt i et eller flere af vores andre forløb, hvor I har set hvordan forskere har brugt matematik til at undersøge problemer. I kommer i forløbet til at forholde jer til matematikkens muligheder og begrænsninger.

Overblik

  • Hvad er matematisk modellering?
  • Rundt i modelleringscyklussen
    • Forstå og forsimple
    • Lave til matematik
    • Arbejde med matematik
    • Fortolkning
    • Vurdering
  • Fælles opsamling

Det lærer du

  • At vide matematisk modellering er
  • At kunne identificere de forskellige faser i modelleringscyklussen
  • At kunne forholde dig kritisk til en matematisk model

Om forløbet

Dette forløb er baseret på andre forløb udviklet af ALBATROS. Det er derfor en forudsætning, at I tidligere arbejdet med et eller flere af vores forløb.

Måske har I arbejdet med forløbet om Sara Sterlies forskning og undersøgt om SkoleGPT er biased.

Måske har I arbejdet med Rasmus Paghs forskning og undersøgt hvordan dine streaming tjenester ved hvad du vil se.

Måske har I arbejdet med Therese Moreaus forskning og undersøgt en algoritme, lavet til at støtte sagsbehandlere i forbindelse med underretninger.

Hvad er matematisk modellering?

Definition 1:

  • Matematisk modellering betyder at oversætte fra den virkelige verden til den matematiske verden og tilbage igen.

Definition 2:

  • Matematisk modellering er processen hvor man forsøger at løse problemer uden for matematik med matematik.

Tal med sidemakkeren: hvad betyder det?​

I klassen: kan I komme med eksempler på hvor matematisk modellering anvendes?

Forstå og forsimple

Når man skal løse et problem med matematik, skal man starte med at forstå og forsimple problemet. Det skal man fordi problemet ofte vil være for bredt og indviklet at undersøge.

Man skal finde ud af hvad man helt præcist vil undersøge. Dette kan man gøre ved at formulere specifikke spørgsmål.

Man skal også udvælge præcist hvilke elementer man vil inddrage i modellen. Man må vælge noget fra, og der vil derfor gå information tabt.

Man kommer derfor til at arbejde med en forsimplet udgave af virkeligheden.

 

Eksempel: At udregne prisen på en taxatur er matematisk modellering

Man skal forstå

  • At prisen sammensættes af startgebyr, km. pris og minutpris​
  • At der er forskellige priser på forskellige dage og tidspunkter​
  • At priserne kun gælder hvis man er 1-4 personer​

Hvis man inden en tur vil udregne prisen, vil man forsimple ved at gå ud fra​

  • At der ikke er vejarbejde​
  • At taxachaufføren ikke kører for hurtigt​
  • At man ikke skal krydse en bro med betaling​
  • Osv.

Her ses hvordan Taxa 4×35 udregner deres priser per 1. december 2023:

Øvelser

Tryk på det eller de forløb I har haft om og tal om spørgsmålene med din sidemakker.

Er SkoleGPT biased?

Sara Sterlie ville gerne undersøge bias i AI. Dette er meget bredt.

  • Præcisér hvad Sara Sterlie helt præcist undersøgte og hvad I helt præcist undersøgte.
  • Hvordan kunne man ellers havde undersøgt bias i AI?
Hvordan ved din streamingtjeneste hvad du vil se?

Rasmus Pagh ville gerne undersøge algoritmer der kunne finde de nærmeste naboer. Dette er meget bredt.​

  • Præcisér hvad Rasmus Pagh helt præcist undersøgte og hvad I helt præcist undersøgte.
Fra data til beslutningsstøtte – Kan vi stole på algoritmen?

I har arbejdet med en model, der forsøgte at forudsige mistrivsel hos børn.​ Man kan ikke måle eller regne på mistrivsel. I stedet kan man måle på andre ting, der kan hænge sammen med mistrivsel.​ Forskerne valgte tre kriterier for mistrivsel.​ Forskerne trænede kun modellen på børn, der havde været underretninger på.​

  • Hvad tænker I om de tre kriterier?​
  • Kunne der være andre relevante ting man kunne have taget med?​
    • Kan man måle på dem?

Tre kriterier for mistrivsel

Et barn mistrives hvis en af følgende ting sker højst 6 måneder efter myndighederne modtager en underberetning:

  • Myndighederne besluttede at fjerne barnet fra sit hjem.
  • Myndighederne greb ind på en anden måde, f.eks. med økonomisk støtte til familien.
  • Myndighederne modtog en underretning af type 2, 7 eller 9 (altså en særlig alvorlig underretning).

Lave til matematik

Når man har forsimplet sit problem, skal det laves til matematik, så man kan regne på det.​

​Dette kan man gøre på mange måder. Man kan f.eks. omskrive ens data til tal og vælge ligninger som passer til det eller man skrive det op i en tabel.

Øvelser

Tryk på det eller de forløb I har haft om og tal om spørgsmålene med din sidemakker.

Er SkoleGPT biased?

I har arbejdet med at få SkoleGPT til at skrive anekdoter, hvor I skulle notere kønnet fra hver anekdote.

  • Hvordan blev anekdoterne fra SkoleGPT lavet til matematik?
Hvordan ved din streamingtjeneste hvad du vil se?
  • Hvordan blev film og sange lavet til matematik?
  • Ville man have fået de samme resultater hvis man bedømte fra 0-100?
  • Ville man have fået de samme resultater hvis man havde valgt noget andet på akserne?
Fra data til beslutningsstøtte – Kan vi stole på algoritmen?
  • Hvordan har man lavet om til matematik?
  • Hvordan bliver et Ja eller Nej spørgsmål lavet om til matematik?
  • Er der udvalgt nogle parametre, der ikke kan laves til tal?

Ud fra parametrene fandt en maskinlæringsmodel frem til en lang funktionsforskrift der kunne udregne en risikoscore:

rs=0,1175+0,0541⋅xalder−9,63084,8251+0,0122⋅xnotifikationer seneste 90 dage−0,49191,0474+0,0472⋅rs=0,1175+0,0541\cdot \frac{x_{\text{alder}}-9,6308}{4,8251}+0,0122\cdot \frac{x_{\text{notifikationer seneste 90 dage}}-0,4919}{1,0474}+0,0472\cdot

xnotifikationer seneste 180 dage−0,77241,4455+0,0068⋅xtype 2 notifikation−0,01300,1131+0,0212⋅xtype 7 notifikation−0,02080,1428+0,0245⋅ \frac{x_{\text{notifikationer seneste 180 dage}}-0,7724}{1,4455}+0,0068\cdot \frac{x_{\text{type 2 notifikation}}-0,0130}{0,1131}+0,0212\cdot \frac{x_{\text{type 7 notifikation}}-0,0208}{0,1428}+0,0245\cdot

xtype 9 notifikation−0,06160,2403+0,0116⋅xindgreb seneste 180 dage−0,03060,1790−0,002⋅xanbringelser det seneste år−0,02510,1777\frac{x_{\text{type 9 notifikation}}-0,0616}{0,2403}+0,0116\cdot \frac{x_{\text{indgreb seneste 180 dage}}-0,0306}{0,1790}-0,002\cdot \frac{x_{\text{anbringelser det seneste år}}-0,0251}{0,1777}

+0,0094⋅xanbringelser de seneste 5 år−0,06800,3364+0,0094\cdot \frac{x_{\text{anbringelser de seneste 5 år}}-0,0680}{0,3364}

Arbejde med matematik

Når man har lavet ens problem til matematik, skal man løse det med matematik. Det vil sige, at man skal regne på det.

Dette skridt er det I typisk gør i en matematiktime.

F.eks. hvis man har lavet ens data til en ligning, er det i dette skridt, at man skal forsøge at løse den.

Øvelser

Tryk på det eller de forløb I har haft om og tal om spørgsmålene med din sidemakker.

Er SkoleGPT biased?

Efter at have noteret jeres data skulle I arbejde med den.

  • Hvordan gjorde I det?
Streamingtjenesters anbefalingsalgoritmer
  • Hvordan regnede I med sange?
  • Hvordan regnede I med film?
  • Hvilke forskelle og ligheder var der i de måder I regnede på?
Fra data til beslutningsstøtte
  • Hvordan regnede I med modellen?
  • Tænkte I over, at I regnede med en lang funktionsforskrift?

Fortolkning

Når I har regnet jer frem til en matematisk løsning, skal den fortolkes fra matematik til virkeligheden.​

F.eks. er x = 176 en matematisk løsning og den fortolkede løsning kan være kvinden er 176 cm høj.​

Kan I komme med eksempler, I er stødt på i matematikundervisningen?

Vurdering

Når I fundet en mulig løsning på jeres problem, skal I vurdere svarene og selve modellen.

I skal både forholde jer til om modellen giver korrekte svar og om den giver svar, der kan bruges til det, I ville undersøge.​

Hvis man vurderer, at ens resultater ikke er brugbare i forhold til det man vil undersøge, må man gå tilbage i processen og ændre noget.

 

 

Øvelser

Tryk på det eller de forløb I har haft om og tal om spørgsmålene med din sidemakker.

Er SkoleGPT biased?
  • Hvordan vurderede Sara Sterlie sine resultater?
  • Hvordan vurderede I jeres resultater?
  • Gav jeres resultater anledning til nye spørgsmål?
Hvordan ved din streamingtjeneste hvad du vil se?
  • Hvordan vurderede I jeres resultater?

Lad os sige, at algoritmen foreslår sange eller film, som I slet ikke er interesserede i.

  • Hvor I processen kan man ændre noget?
  • Hvad kan man ændre?
Fra data til beslutningsstøtte – Kan vi stole på algoritmen?
  • Hvordan vurderede I modellen?
  • Hvad kom I frem til, da I vurderede modellen?

I fandt frem til en tydelig sammenhæng mellem risiko score og alder. I så bagefter, at der er en tydelig sammenhæng mellem alder og anbringelser.

  • Forklar hvorfor vi her går tilbage til Forstå og forsimple skridtet.

Hvad gør man nu?

Hvis man vurderer at den fortolkede løsning ikke giver mening eller ikke svarer på det virkelige problem man startede med, må man undersøge hvor det gik galt:

  • Man kan gå tilbage til Forstå og forsimple og ændre noget
  • Man kan ændre noget i Lave til matematik
  • Man kan have regnet forkert i skridtet Arbejde med matematik
  • Man kan vurdere, at det ikke er oplagt at bruge matematik til at løse ens problem
  • Man kan komme frem til resultater, der giver nye spørgsmål, som man kan undersøge

Modelleringscyklussen

Opsamling i klassen

  • Hvilke faser kræver flest overvejelser?​
  • Hvilke faser var nemmest/sværest at forstå?
  • Hvis I arbejdede med flere forløb: hvilket forløb var nemmest/sværest at placere i modelleringscyklussen?

Tak for denne gang!